lunes, 8 de agosto de 2016

LA POESÍA DE LOS FRACTALES


La vida, la realidad, lo concreto, y hasta la imaginación y los días que usted come guisantes, están sujetos a patrones que se repiten de forma constante.
Lo abstracto y lo sensible, queridos todos, está sometido a maravillosas armonías geométricas que se dan en diferentes escalas.

Hay una explicación para todo, un porqué de la realidad, y les adelanto que no es Dios, pero acaso sí es una religión. Si esperan que comente aquí naderías de celebrities, listados chungos, biografías de heroínas enterradas o explícitas experiencias sexuales, abandonen este lugar hasta mi próximo texto. Porque hoy, virtuales amigxs, me he levantado muy sensible a las matemáticas y sinestésica perdida con respecto a la física que embadurna nuestra mortal existencia.

La -sorprendentemente todavía escasa- literatura al respecto, define los fractales como entidades matemáticas que están por todas partes y que son diferentes entre sí. Son difíciles de definir porque no todos cumplen las mismas características, pero lo que tienen en común es que son el producto de la repetición de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación extraordinaria. 

Resumiendo mucho, mucho: Un fractal sería un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Si nos acercamos o nos alejamos de ese objeto, vemos la misma forma, que no nos dice a qué distancia estamos del objeto. El ejemplo más claro de la naturaleza es el romanesco, esa estética verdura de aspecto lisérgico que se ramifica una y otra vez repitiendo su preciosa estructura. Viéndolo aunque sea en foto, se entiende perfectamente el concepto de geometría fractal:



La formulación matemática vendría a decir que un fractal se hace a partir de una figura que se va reproduciendo en versiones más pequeñas. 
Veamos algunos ejemplos:

El triángulo Sierpinski. Dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres triángulos en su interior a partir de sus esquinas, y así hasta que nos entre hambre, aburrimiento o lo que fuere:



La alfombra de Sierpinski:




El conjunto de Mandelbrot fue propuesto en los años setenta, pero no fue hasta más de una década después cuando pudo representarse gráficamente con un ordenador. Este conjunto, en los años 80 se consiguió formular convirtiéndose en el emblema de la geometría fractal y se define a partir de un número “c” cualquiera, que va operando en la siguiente sucesión:




Para diferentes valores de “c”, obtenemos distintas sucesiones. Si la sucesión es acotada, “c” pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda fuera. Por ejemplo, para c=1 se obtiene: 0, 1, 2, 5, 26, 677, etc. (0, 1=02+1, 2=12+1, 5=22+1, etc.) Para c=-0.5 obtenemos 0, -0.5, -0.25, -0.4375, -0.30859375, -0.404769897, etc) De esta forma, c=-0.5 pertenece al conjunto y c=1 no.
Si además consideramos números complejos, obtenemos la siguiente figura del conjunto:





Esta imagen se convirtió en la puerta de salida de la geometría clásica, liderada por el círculo como forma básica. Este conjunto viene a ser el logotipo de la geometría fractal, y llegó a convertirse en un símbolo de libertad matemática e incluso cultural. Cuando nos acercamos a cualquier parte del borde, vemos que se reproduce el mismo conjunto y no sabemos si estamos cerca o lejos de la figura. Es un concepto muy de marihuana, muy de flipados, muy de orden en el caos.

Otro fractal interesante es la Curva del dragón. Mola ¿no?:







*La curva de Koch es además una paradoja: a simple vista es finita, pero en realidad no acabaría jamás; desde las medidas tradicionales resultaría imposible medirla, porque conforme se va reproduciendo, se alarga y engrandece hasta el infinito y más allá:




Eso sí, se solapa el concepto de fractal, con el de autosimilaridad, que es la propiedad de un objeto en el que el todo es exacta o aproximadamente similar a una parte de sí mismo. (Los triángulos de Sierpiński son también autosimilaridad exacta completa, por ejemplo) Y el caso de Mandelbrot tiene autosimilaridad exacta sólo alrededor de los llamados puntos de Misiurewicz. Aquí la imagen completa original en la que se ve que para que funcione el efecto han de ajustarse a un único punto:


Los fractales nos hablan de disonancias también. Un árbol que tiene ramas, que a su vez tienen ramas más estrechas y que a su vez tienen ramitas pequeñas, es geometría fractal.

Todo cuanto vivimos, vemos, conocemos y aprehendemos, es insultantemente irregular. Los fractales, en cierto modo, sirven para deshacer esa abstracción y acercarnos un poco más al objeto real. 
La preocupación por los fractales (que el corrector se empeña en cambiarme por “fracases”) comenzó en los años 60, y se suele poner el ejemplo de Benoit Mandelbrot de las costas de los países. Son líneas quebradas que siguen teniendo un aspecto parecido cuando cambiamos de escala. Precisamente estas dos propiedades son las que definen a un fractal: discontinuidad (rotura, fractura, de ahí su nombre) y autosemejanza con el cambio de escala. Medimos su grado de fractura e irregularidad con un simple número que llamamos dimensión fractal.

Les recuerdo lo que es la dimensión: un punto no tiene medida (dimensión cero); una recta la medimos en metros o kilómetros lineales, que viene a ser dimensión uno (una sola medida: largo); una superficie la medimos en metros o kilómetros cuadrados (dimensión dos: largo por ancho) y un volumen lo medimos en metros o kilómetros cúbicos (dimensión tres: largo por ancho por alto). Un fractal, generalmente, tendrá una dimensión (su dimensión fractal) que estará entre cero y uno, entre uno y dos o entre dos y tres.
Si en el ejemplo de la costa suponemos una dimensión fractal de 1,25 en España, y si la de Francia tiene una dimensión fractal de 1,35, la simple comparación de sus dimensiones fractales supone que la costa francesa es más escarpada que la española. La parte entera de la dimensión fractal (en este caso 1) nos está informando que el objeto con el que tratamos es una recta, y la parte fraccionaria mediría su grado de irregularidad.

Pero la dimensión fractal también nos explica la cantidad de espacio físico que ocuparía la costa de uno y otro país. Francia, con su dimensión fractal de 1,35 "llenaría" más que España con 1,25, lo cual no sé a priori si me gustaría o no. Si hubiera un tsunami -Diosa no lo quiera- la costa de uno y otro país se volvería más caprichosa y escarpada, más "rugosa", aumentando así su dimensión fractal -con más entrantes y salientes, de trocitos de tierra y rocas por los que limita el agua- que, imaginen por un momento que llega a 2. En tal caso se completaría una superficie entera con su costa. Una locura.

Llegados a este punto -lo siento si se me va la cabeza mucho- me doy cuenta de que tal vez debería haber introducido la historia del descubrimiento de los fractales, pero si les digo la verdad, me da una pereza horrorosa, porque lo interesante es el futuro, la cantidad de cosas que aun estando sometidas a la geometría fractal, no se han investigado todavía. Por eso, si desean saber cómo las matemáticas se empezaron a preocupar por los fractales (básicamente cuando la informática se pudo aplicar al estudio científico), estoy segura de que encontraran lugares interesantes para leer sobre ello (la Wikipedia sin ir más lejos).


Las nubes, las montañas, un queso gruyere, las raíces de un geranio (qué feos son los geranios, por cierto), la superficie lunar, las arterias que transportan nuestra sangre... no se ajustan a la geometría clásica, que habla de círculos perfectos, líneas rectas y un mundo reglado por matemáticas subnormales. El mundo que nos rodea, se rige por fractales, y lo hace con una delicada anarquía capaz de dar sentido al caos. Desde las matemáticas, de hecho, se llamaba a estos patrones "monstruos"; porque es lo que son: formas irregulares, raras, sin sujeción al aburrido universo euclidiano. 


Sé que todavía hay quien ve esto como una mera aplicación informática, como un pasatiempo para frikis de la geometría (que haberlos, haylos) pero yo cada vez tengo más claro que es un orden universal a medio explorar. Y que, como digo, lo más apasionante de los fractales (aparte de su estética rabiosa y fumeta) son las posibilidades técnicas, científicas y culturales que ofertan. Por lo visto en animaciones de cine se vienen utilizando desde hace un tiempo -en Star wars por ejemplo- . 

También hubo un tío, Nathan Cohen, que se dio cuenta de que diseñando antenas receptoras con patrones fractales, conseguía crear aparatos más pequeños, y como su casero no le dejaba poner una antena en casa de radioaficionado, estudió cómo diseñarla para que ocupara menos. Lo consiguió, y además se dio cuenta de que recibía más frecuencias, con un mayor ancho de banda ¿por qué? Porque la repetición de un patrón matemático multiplica su potencial porque contiene "más" de sí mismo en un espacio reducido. Este señor se flipó tanto que creó una empresa que se llama Fractal Antena Sistems Inc

Si esto ocurre con antenas y la recepción de frecuencias, imaginen ustedes qué podemos hacer con el WiFi, con la fibra óptica... Creo que hay demasiados avances tecnológicos pendientes de explorar en este sentido. La ingeniería al fin y al cabo no es más que una burda imitación de la naturaleza. Entonces ¿A qué esperamos para adaptar la geometría fractal en nuestros pequeños avances humanos?

Además, nosotros, estos seres ordinarios y antropocentristas sin parar, somos también un conjunto de fractales: Las fluctuaciones del latido del corazón (que en realidad no es ningún metrónomo constante y regular) sirven para diagnosticar patologías cardiológicas; los nervios ópticos se ramifican con una arquitectura fractal; muchos procesos fisiológicos se pueden explicar de forma fractal; e incluso la forma de reproducirse celularmente un tumor es fractal. Lo que pasa es que todavía está muy poco explorado el peso de esta geometría en nuestra salud.


Y donde veo yo un enfoque más hermoso es en el arte. Imaginen un estampado fractal en el que da igual si se está cerca o lejos: el efecto y la emoción producida se puede amplificar y reducir en una espiral de hermosa alucinación. Imaginen un ritmo de un bombo y una caja, que se repite y a su vez contiene ese mismo ritmo. Imaginen qué temazos de electrónica se podrían crear con una estructura que se repite dentro de sí misma, hacia dentro, hacia fuera... Mmmm...


En realidad, todo esto que he escrito aquí, es para decir una cosita al respecto: El universo, ese ente inaprensible y sin límite, tiene un funcionamiento en apariencia expansivo. Va hacia fuera, engorda en su propia infinitud. Se llena y se nutre de sí mismo. 
Mientras que la materia indivisible, obscenamente pequeña, celular, atómica, perfecta... reproduce en realidad el orden del cosmos. Se contrae, se niega a que la podamos siquiera ver: 

Una misma música coreografía ese extraño TODO, donde una misma figura, la del átomo, la de un sistema estelar... rige la existencia, la miremos desde donde la miremos. Curiosamente -ya les digo que resulta procaz entender todo desde el reducido punto de vista humano- el cerebro de nuestra especie, sería un punto intermedio de esta inteligencia fractal. Los humanos, tan obsesionados con su único punto de vista, han llegado a esta misma conclusión, pero sin saber mirar mucho más allá, sin abstraerse o excluirse de esta lectura. (Lean esto por ejemplo).


La existencia sólo puede ser leída desde nuestras deficitarias ciencias y medidas, desde nuestras dimensiones espaciales y temporales. Desde la geometría euclídea y desde la fractal. Pero estoy muy convencida de que un mismo patrón se repite concupiscentemente hacia dentro y hacia fuera. Es una canción colorida, un lugar en el tiempo, la llave del conocimiento a la que nosotros, pobres bestias a medio hornear, no sabemos acceder.

Pero no pasa nada, nos conformamos con respirar, comer romesco, pasear por las montañas o admirarnos de un río... sin ser conscientes de que sólo cambia un fractal en cada ecuación: todo es un continuo imperfecto y eterno.

Lo dice Diana Aller

2 comentarios :

pepe dijo...

Yo también quiero de lo que te has comido....

Riberaine dijo...

Eres la canya ,me encanta leerte .